Autoregressive Mobile Media Example

Sto davvero cercando, ma che lotta, per capire come Autoregressive e spostamento di lavoro media. Sono abbastanza terribile con l'algebra e guardando doesnt davvero migliorare la mia comprensione di qualcosa. Quello che mi piacerebbe molto è estremamente un semplice esempio di dire 10 tempo osservazioni che dipendono in modo da poter vedere come funzionano. Allora supponiamo di avere i seguenti punti dati del prezzo dell'oro: per esempio, al periodo di tempo 10, quale sarebbe la media mobile di Lag 2, MA (2), essere o MA (1) e AR (1) o AR (2) I tradizionalmente imparato a conoscere media mobile di essere qualcosa di simile: Ma quando guardando modelli ARMA, MA è spiegata in funzione di condizioni di errore precedenti, che non posso ottenere la mia testa intorno. E 'solo un modo più fantasioso di calcolare la stessa cosa che ho trovato questo post utile: (Come capire SARIMAX intuitivo), ma whist l'algebra aiuta, non posso vedere qualcosa di veramente chiaramente fino a quando vedo un esempio semplificato di esso. Considerati i dati sui prezzi dell'oro, si dovrebbe prima valutare il modello e poi vedere come funziona (le previsioni di analisi impulso-risposta). Forse si dovrebbe restringere la domanda al solo la seconda parte (e lasciare la stima da parte). Cioè, si dovrebbero fornire un AR (1) o MA (1) o quello del modello (ad esempio xt0.5 x varepsilont) e chiederci, come fa questo lavoro particolare modello. ndash Richard Hardy 13 ago 15 in 19:58 Per qualsiasi AR (q) modellare il modo più semplice per stimare il parametro (s) è quello di utilizzare OLS - ed eseguire la regressione di: pricet beta0 beta1 prezzo cdot dotso betaq prezzo cdot Consente di fare in modo (in R): (Va bene, così ho barato un po 'e usato la funzione arima in R, ma produce lo stesso stime come la regressione OLS - provare). Ora diamo un'occhiata alla (1) Modello MA. Ora il modello MA è molto diverso dal modello AR. Il MA è media ponderata tra passato errore periodi, in cui come il modello AR utilizza i valori effettivi dei dati previoues periodi. Il MA (1) è: mu pricet peso theta1 cdot w Dove mu è la media, e peso sono i termini di errore - non il valore previoes di prezzo (come nel modello AR). Ora, purtroppo, non possiamo stimare i parametri di qualcosa di semplice come OLS. Non voglio coprire il metodo qui, ma la funzione R Arima usa la massima likihood. Proviamo: Spero che questo aiuti. (2) Per quanto riguarda il MA (1) domanda. Lei dice che il residuo è 1,0023 per il secondo periodo. Ciò ha senso. La mia comprensione del residuo è it39s la differenza tra il valore previsto e il valore osservato. Ma tu poi dire il valore previsto per il periodo 2, è calcolato utilizzando il residuo periodo di 2. È esatto Isn39t il valore previsto per il periodo 2 appena (0,54,23 mila 4,9977) ndash Will TE 17 agosto 15 alla 11: 24A RIMA acronimo di Integrated Autoregressive modello a media mobile. Univariata (singolo vettore) ARIMA è una tecnica di previsione che proietta i valori futuri di una serie basata interamente sulla propria inerzia. La sua applicazione principale è nella zona di previsione a breve termine che richiede almeno 40 punti dati storici. Funziona meglio quando i dati mostra un andamento stabile e coerente nel tempo con un importo minimo di valori anomali. A volte chiamato Box-Jenkins (dopo gli autori originali), ARIMA è generalmente superiore agli esponenziali tecniche di smoothing quando i dati sono ragionevolmente lungo e la correlazione tra le osservazioni del passato è stabile. Se i dati è breve o altamente volatile, quindi un metodo di smoothing può funzionare meglio. Se non si dispone di almeno 38 punti di dati, si dovrebbe considerare un altro metodo di ARIMA. Il primo passo per l'applicazione di una metodologia ARIMA è quello di verificare la presenza di stazionarietà. Stazionarietà implica che la serie rimane ad un livello abbastanza costante nel tempo. Se una tendenza esiste, come nella maggior parte delle applicazioni economiche o commerciali, quindi i dati non siano stazionarie. I dati dovrebbero anche mostrare una variazione costante nelle sue variazioni nel corso del tempo. Questo si vede facilmente con una serie che è fortemente stagionale e cresce ad un tasso più veloce. In tal caso, gli alti e bassi nella stagionalità diventeranno più drammatico nel tempo. Senza queste condizioni stazionarietà soddisfatte, molti dei calcoli connessi con il processo non può essere calcolato. Se una trama grafica dei dati indicano stazionarietà, allora si dovrebbe differenza della serie. Differenziazione è un ottimo modo di trasformare una serie non stazionaria ad uno stazionario. Questo viene fatto sottraendo l'osservazione nel periodo attuale da quella precedente. Se questa trasformazione è fatto solo una volta per una serie, si dice che i dati sono stati prima differenziata. Questo processo elimina sostanzialmente il trend Se la serie sta crescendo a un ritmo abbastanza costante. Se sta crescendo ad un tasso crescente, è possibile applicare la stessa procedura e la differenza dei dati di nuovo. I Suoi dati sarebbero quindi secondo differenziata. Autocorrelazioni sono valori numerici che indicano come una serie di dati si riferisce a se stesso nel tempo. Più precisamente, misura quanto fortemente valori di dati in un numero specificato di periodi parte sono correlati tra loro nel tempo. Il numero di periodi a parte viene di solito chiamato il ritardo. Ad esempio, un autocorrelazione al ritardo 1 misure come valori 1 periodo parte sono correlati tra loro durante la serie. Un autocorrelazione al ritardo 2 misure come i dati due periodi a parte sono correlati tutta la serie. Autocorrelazioni possono variare da 1 a -1. Un valore prossimo a 1 indica una forte correlazione positiva mentre un valore prossimo a -1 implica un'alta correlazione negativa. Queste misure sono più spesso valutate attraverso trame grafiche chiamati correlagrams. Un correlagram traccia i valori di correlazione automazione per una data serie a diversi ritardi. Questo è indicato come funzione di autocorrelazione ed è molto importante nel metodo ARIMA. metodologia ARIMA tenta di descrivere i movimenti in una serie temporale stazionaria in funzione dei cosiddetti autoregressivo e spostando parametri medi. Questi sono indicati i parametri da AR (autoregessive) e dei parametri MA (medie mobili). Un modello AR con solo 1 parametro può essere scritto come. X (t) A (1) X (t-1) E (t) dove X (t) serie temporali indagato A (1) il parametro autoregressivo di ordine 1 X (t-1) la serie temporale ritardato 1 periodo E (t) il termine di errore del modello significa Questo semplicemente che qualsiasi dato valore X (t) può essere spiegato da una funzione del suo valore precedente, X (t-1), più alcuni errori casuali inspiegabile, E (t). Se il valore stimato di un (1) era .30, allora il valore attuale della serie sarebbe collegato al 30 del suo valore 1 periodo fa. Naturalmente, la serie potrebbe essere correlato a più di un solo valore passato. Per esempio, X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Questo indica che il valore attuale della serie è una combinazione dei due valori immediatamente precedenti, X (t-1) e X (t-2), più alcuni casuale errore e (t). Il nostro modello è ora un modello autoregressivo di ordine 2. modello a media mobile: Un secondo tipo di modello Box-Jenkins è chiamato un modello di media mobile. Sebbene questi modelli sono molto simili al modello AR, il concetto dietro è molto diversa. Moving parametri medi riguardano ciò che accade nel periodo t solo agli errori casuali che si sono verificati in tempi passati, cioè E (t-1), E (t-2), ecc piuttosto che X (t-1), X ( t-2), (Xt-3) come negli approcci autoregressivi. Un modello di media mobile con un termine MA può essere scritta come segue. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) Il termine B (1) è chiamato MA di ordine 1. Il segno negativo davanti parametro viene utilizzato solo per convenzione e di solito è stampato fuori automaticamente dalla maggior parte dei programmi per computer. Il modello sopra dice semplicemente che ogni valore dato di X (t) è direttamente collegata soltanto l'errore casuale nel periodo precedente, E (t-1), e al termine di errore corrente, E (t). Come nel caso del modello lineare autoregressivo, i modelli media mobile possono essere estese a strutture di ordine superiore che coprono diverse combinazioni e in movimento lunghezza media. metodologia ARIMA consente anche modelli da costruire che incorporano sia autoregressivo e commovente parametri medi insieme. Questi modelli sono spesso indicati come modelli misti. Anche se questo comporta un strumento di previsione più complicata, la struttura può effettivamente simulare la serie meglio e produrre una previsione più accurata. modelli Pure implicano che la struttura consiste solo di parametri AR o MA - non entrambi. I modelli sviluppati da questo approccio sono di solito chiamati modelli ARIMA perché usano una combinazione di autoregressivo (AR), integrazione (I) - riferendosi al processo inverso di differenziazione per produrre le previsioni, e le operazioni di movimentazione (MA) media. Un modello ARIMA è di solito indicato come ARIMA (p, d, q). Questo rappresenta l'ordine dei componenti autoregressivi (p), il numero di operatori di differenziazione (d), e il più alto ordine della media mobile termine. Ad esempio, ARIMA (2,1,1), significa che avete un secondo modello ordine autoregressivo con un primo ordine in movimento componente media la cui serie è stata differenziata una volta per indurre stazionarietà. Raccogliendo la specifica A destra: Il problema principale nella classica Box-Jenkins sta cercando di decidere quale specifica ARIMA usare - i. e. quanti parametri AR e MA o da includere. Questo è ciò che gran parte del Box-Jenkings 1976 è stata dedicata al processo di identificazione. E dipendeva grafica e numerica va - situa - della autocorrelazione campione e funzioni di autocorrelazione parziali. Ebbene, per i vostri modelli di base, il compito non è troppo difficile. Ogni hanno funzioni di autocorrelazione che guardano in un certo modo. Tuttavia, quando si sale in complessità, non sono così facilmente individuati i modelli. Per rendere le cose più difficili, i dati rappresentano solo un esempio del processo sottostante. Ciò significa che gli errori di campionamento (valori anomali, errore di misura, ecc) possono distorcere il processo di identificazione teorica. Ecco perché la modellazione tradizionale ARIMA è un'arte piuttosto che una science.2.1 modello a media mobile (modelli MA) modelli di serie tempo noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi eo movimento termini medi. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. Per soddisfare una limitazione teorica chiamato invertibilità. abbiamo limitare MA (1) modelli di avere valori con valore assoluto inferiore 1. Nell'esempio appena dato, 1 0.5 sarà un valore di parametro ammissibile, che non sarà 1 10.5 2. Invertibilità dei modelli MA Un modello MA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti. Facendo convergere, si intende che i coefficienti AR diminuiscono a 0 mentre ci muoviamo indietro nel tempo. Invertibilità è una limitazione programmata nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti dei modelli con i termini MA. La sua non è una cosa che controlliamo per l'analisi dei dati. Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilit'a per MA (1) modelli è riportato in appendice. Avanzate teoria Note. Per un modello MA (q) con un determinato ACF, vi è un solo modello invertibile. La condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y-. - Q q y 0 ha soluzioni per y che non rientrano nel cerchio unitario. R Codice per gli esempi in Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello x t 10 w t. 7W t-1. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati per tracciare la ACF teoriche sono state: acfma1ARMAacf (Mac (0,7), lag. max10) 10 ritardi di ACF per MA (1) con theta1 0,7 lags0: 10 crea una variabile denominata ritardi che va da 0 a 10. trama (ritardi, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) aggiunge un asse orizzontale per la trama il primo comando determina l'ACF e lo memorizza in un oggetto chiamato acfma1 (la nostra scelta del nome). Il comando plot (il 3 ° comando) trame in ritardo rispetto ai valori ACF per ritardi da 1 a 10. Il parametro ylab Contrassegni l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul terreno. Per visualizzare i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare il comando acfma1. La simulazione e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. xcarima. sim (N150, elenco (Mac (0,7))) Simula n 150 valori da MA (1) xxc10 aggiunge 10 per rendere medi default 10. simulazione a significare 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) i dati) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per dati campione simulati) nell'Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati sono stati acfma2ARMAacf (Mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (ritardi, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (2) con theta1 0.5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (N150, l'elenco (Mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principale simulato MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per simulato MA (2) dati) Appendice: prova di proprietà di MA (1) per gli studenti interessati, qui ci sono prove per le proprietà teoriche del (1) modello MA. Varianza: (testo (xt) testo (mu peso theta1 w) 0 di testo (in peso) di testo (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, l'espressione precedente 1 w 2. Per ogni h 2, l'espressione precedente 0 . il motivo è che, per definizione di indipendenza della wt. E (w k w j) 0 per ogni k j. Inoltre, perché la w t hanno media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Per una serie temporale, applicare questo risultato per ottenere l'ACF cui sopra. Un modello MA invertibile è uno che può essere scritta come modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo. Bene dimostrare invertibilità per la (1) Modello MA. Abbiamo poi sostituto relazione (2) per w t-1 nell'equazione (1) (3) (ZT WT theta1 (z - theta1w) peso theta1z - theta2w) Al tempo t-2. l'equazione (2) diventa Abbiamo poi rapporto sostituto (4) per w t-2 nell'equazione (3) (ZT peso theta1 z - theta21w WT theta1z - theta21 (z - theta1w) WT theta1z - theta12z theta31w) Se dovessimo continuare a ( infinitamente), otterremmo il modello AR ordine infinito (ZT peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z punti) Nota però, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà (infinitamente) in termini di dimensioni, come ci muoviamo nel tempo. Per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 LT1. Questa è la condizione per un MA (1) Modello invertibile. Infinite Modello di ordine MA In settimana 3, e vedere che un AR (1) modello può essere convertito in un modello di ordine MA infinite: (xt - mu peso phi1w phi21w punti phik1 w punti riassumono phij1w) Questa somma dei termini di rumore bianco del passato è conosciuto come la rappresentazione causale di un AR (1). In altre parole, x t è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini che vanno indietro nel tempo. Questo è chiamato un ordine infinito MA o MA (). Un ordine MA finito è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine MA infinita. Ricordiamo a settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso (1) è che 1 LT1. Consente di calcolare il Var (x t) utilizzando la rappresentazione causale. Questo ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede (phi1lt1) altrimenti i diverge serie. NavigationDocumentation è la media incondizionata del processo, e x03C8 (L) è un razionale, infinita gradi operatore lag polinomiale, (1 x03C8 1 L x03C8 2 L 2 x2026). Nota: La proprietà costante di un oggetto modello di Arima corrisponde a c. e non l'incondizionato media 956. Con Wolds decomposizione 1. Equazione 5-12 corrisponde ad un processo stocastico stazionario fornito i coefficienti x03C8 mi sono assolutamente sommabile. Questo è il caso quando il polinomio AR, x03D5 (L). è stabile. significa tutte le sue radici si trovano al di fuori del cerchio unitario. Inoltre, il processo è causale disponibile polinomio MA è invertibile. significa tutte le sue radici si trovano al di fuori del cerchio unitario. Econometrics Toolbox impone stabilità e invertibilità dei processi ARMA. Quando si specifica un modello ARMA usando arima. si ottiene un errore se si immette coefficienti che non corrispondono a una stabile AR polinomiale MA polinomiale o invertibile. Allo stesso modo, stima impone stazionarietà e invertibilità vincoli durante la stima. Riferimenti 1 Wold, H. A Study in Analisi di Stationary Time Series. Uppsala, Svezia: Almqvist amp Wiksell, 1938. Seleziona il Paese